Математика для спорта - статистика

Математическая статистика и прогнозы спортивных достижений

Феноменальный прыжок на 890 см американ­ского спортсмена Р. Бимона — яркое достижение XIX Олимпиады 1968 года в Мехико. Прыжок этот назва­ли прыжком в XXI век.

В последние годы многим спортсменам удалось прыгнуть на 830-870 см. Правда, подобные результаты все еще ред­кость: их бывает не более четырех в год.

Попытаемся, хотя бы приближенно, оценить вероятность того, что рекорд Бимона будет превзойден еще в этом веке.

Любой прыжок за 830 см будем называть «удачным» прыжком. За всю историю легкой атлетики зарегистриро­вано около 30 удачных прыжков. Первый удачный прыжок (831 см) совершил в 1962 г. советский спортсмен И. Тер-Ованесян. С 1962 по 1982 гг. зарегистрировано пятнадцать удачных прыжков (кроме прыжка Бимона). Вот их реестр, составленный на основе справочника по легкой атлетике :

831	И. Тер – Ованесян (СССР)	1962
831	Р. Бостон (США)	1964
834	Р. Бостон	1964
835	Р. Бостон	1965
835	И. Тер – Ованесян (США)	1967
835	Й. Шварц (ФРГ)	1970
835	А. Робинсон (США)	1976
835	Х. Лаутербах (ГДР)	1981
836	Ж. –К. ди Оливейра (Бразилия)	1979
841	Ш. Оббясов  (СССР)	1982
841	Л. Домбровски (ГДР)	1982
845	Н. Стекич (Югославия)	1975
852	Л. Мирикс (США)	1979
854	Л. Домбровски (ГДР)	1980
876	К. Льюис (США)	1982
890	Р. Бимон	1968

Введем в рассмотрение случайную величину L, равную округ­ленной до ближайшего десятка (в 'меньшую сторону) длине прыжка. Разобьем весь диапазон отмеченных значений L на интервалы (разряды) длиной в 10 см и подсчитаем число т_{ значений, приходящихся на каждый i-й разряд, затем найдем статистическую вероятность Pj = mJN, разделив т_{ на общее число N = 15 отмеченных значений. Приходим к статисти­ческом ряду:

L    830       840       850      860      870      880       890     900

р        8/15     4/15      2/15       0       1/15       0    0        0

Этому статистическому раду с помощью так называемой Нетрудно обнаружить, что рас­сматриваемый ряд хорошо со­гласуется по различным статис­тическим критериям (мы лише­ны возможности останавливать­ся на этом вопросе и отсылаем читателя к литературе по математической статистике [3; 26]) со следующим теорети­ческим радом распределения случайной величины X:

X        830       8.40       850       860
р     1/2       1/4       1/8      1/16

870       880        890        900

1/32      1/64      1/128       1/256

Отсюда следует, что вероятность «удачного» прыжка, не превосходящего рекорда Бимона, равна

р(Х < 890) = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/64 = 63/64.

Если предположить, что максимальное число «удачных» прыжков за год равно четырем, то по этой несколько завышенной оценке до конца текущего столетия можно ожидать 60 «удачных» прыжков.

Вероятность q того, что ни один из них не превзойдет рекорда Бимона, равна

q = (p(X < 890))⁶⁰ = (63/64)⁶⁰ = 0,389.

Следовательно, вероятность того, что по крайней мере один из этих прыжков окажется новым мировым рекордом (т. е. превысит 890 см) составит

р = 1-0 = 0,611.

В действительности, как следует из многолетних наблю­дений, в год регистрируется в среднем лишь два удачных прыжка. Поэтому более реальная оценка

q = (p(X <890))³⁰ = 0,625,

а вероятность побития рекорда Бимона в текущем столетии будет р = 0,375.

Итак, вероятность того, что Р. Бимон «прыгнул в XXI век», достаточно велика*).

Похожие статьи