Делимость и спорт

Делители и кратные.

Число a делится на число b, если существует такое число c,что выполняет равенство a = b*c

При этом число c называется частным от деления a на b, число a – кратным b, а число b – делителем a. Например, убедиться, проведя деление “столбиком”. В то же время 1001 – кратное каждого из этих чисел.

Простые и составные числа.

Всякое число делится само на себя и на 1 – это следует из равенства a = a*1.

Числа, которые не имеют других делителей, кроме 1 и самого себя, называются простыми. Таковы, например, числа 3, 5, 7, 89.Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными.

Составными является, например, число 6: оно имеет 4 делителя – 1, 2, 3, 6.

Можно, сказать так же, что число является составным, если его можно разложить на 2 множителя, не один из которых не равен 1. Например, 21 = 3•7.

Простое число, напротив, обладает “противоположным” свойством: если оно разложено на 2 множителя, то один из них равен 1.

Выбери и расположи простые числа в порядке убывания:

Делимость произведения.

Задачи. связанные с делимостью натуральных чисел, очень разнообразны. для их решения полезны некоторые общие свойства делимости, которые помогают существенно упрощать вычисления.

Свойство 1. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, то и их произведение делится на это число.

В данном свойстве действуют три “ персонажа “: два числа – сомножители и некоторое третье число. Первые два числа обозначим буквами ab., а третье число – буквой c.

Одно из чисел a и b, по условию, делится на c. Пусть, например, b делится на c. Это означает, что существует k такое, что b = ck. Тогда: ab= a(ck) = c(ak), то есть ab делится на c – в частном получается число ak.

Свойство 2. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то и первое число делится на третье.

Обозначим первое, второе и третье числа буквами a, b и c. По условию, a делится на b, то есть a = bn, где n – некоторое натуральное число. В полученном произведении множитель b делится на c. значит, по свойству 1, на c делится и всё произведение – число a,что и требовалось доказать.

Подбери подходящие значения сумм. Из соответствующих букв составь слово:

8•10+3•100+4•1 000	4038 м	4380 о	4308 н
4•10 000+5•100+7	40507 й	45007 а	45700 к
26•100+2 000	4006 д	4060 п	4600 е
73•10+10 000	40730 х	47300 б	40703 я
6•10+29•100+100	3006 т	3060 к	3600 р
8•100+10 000+2	20080 у	28000 с	20008 з
2•1 000+5•100+8•10	2058 ж	2580 к	2058 в

 

Делимость суммы и разности.

Свойство 1. Если два числа делятся на некоторое число, то их сумма и разность тоже делятся на это число.

Для доказательства обозначим первые два числа буквами a и b, а третье число – буквой c. Так как, a, по условию, делится на c, то a = ck. Так как b, по условию, делится на c, то b = cl. Значит:

a + b = ck = cl = c(k + l)

то есть a + b делится на c – в частном получается число k + l.

Точно так же доказывается, что разность a – b делится на c.

Свойство 2. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то их сумма и разность не делятся на это число.

Данные числа обозначим буквами a и b, третье число – буквой c. Пусть, например, a делится на c, а b не делится на c.

Предположим, что сумма a + b делится на c. Тогда, по свойству 1, разность (a + b) – a, то есть число b, также делится на c. Мы пришли к противоречию: число b, одновременно и делится, и не делится на c.

Найди ложные высказывания. Из соответствующих букв составь вид спорта:

Признаки делимости на 10, на 2 и на 5.

В математике придумали некоторые специальные приёмы для упрощения вычислений – признаки делимости.

Простейший из них нам хорошо известен – это признак делимости на 10. именно, если число оканчивается на 0, то оно делится 10, а если число оканчивается на любую другую цифру, то оно не делится на 10. Таким образом, признак делимости на 10 формулируется так: "Число делится на 10 в том и только в том случае, когда его последняя цифра ровна 0".

Число a делится на 10 <-> Последняя цифра a равна 0

Рассмотрим теперь вопрос о делимости на 5. Здесь нам существенно помогут изученные свойства делимости.

Задача. Какие из чисел 34 470, 745, 5 637 делятся на 5?

Число 34 470 делится на 10, а 10 делится 5. Поэтому, по свойству 2 делимости произведения, 34 470 делится на 5. Ясно, что и всякое число, оканчивающееся цифрой 0, делится на 5.

Число 745 представим в виде суммы: 745 = 740 + 5. Оба слагаемых делятся на 5, и по свойству 1 делимости суммы, их сумма 745 делится на 5. Я, что и всякое число, оканчивающееся цифрой 5, делится на 5.

Число 5 637 также представим в виде суммы: 5 637 = 5 630 + 7. Здесь первое слагаемое делится на 5, а второе не делится на 5. По свойству 2 делимости суммы, сумма 5 637 не делится на 5.

Из этих примеров вполне очевидно признак делимости на 5: "Число делится на 5 в том и только в том случае, когда оно оканчивается цифрой 0 или 5".

Число делится на 5 <-> Последняя цифра числа a равна 0 или 5

Аналогично, число делится на 2 в том и только в том случае, когда оно оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Эти цифры условились называть чётными, в отличие от остальных цифр – 1, 3, 5, 7, 9, которые называют нечётными. Поэтому признак делимости на 2 формулируется немного проще: "Число делится на 2 в том и только в том случае, когда оно оканчивается четной цифрой".

Число a делится на 2 <-> Последняя цифрп числа - чётная

Расшифруй слово, из чисел, которые кратны 10, 5 и 2:

Признаки делимости на 3 и на 9.

Исследуем теперь, от чего зависит делимость числа на 3 и на 9.

Задача. Делится ли на 3 число 8 535?

Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых:

8 535 = 8000 + 500 + 30 + 5 = 8 •1000 + 5 • 100 + 3 • 10 + 5.

Из каждого " круглого " числа выделим единицу и раскроем скобки:
8 535 = 8 • ( 999 + 1 ) + 5 • ( 99 + 1 ) + 3 • ( 9 + 1 ) + 5 = 8 • 999 + 8 + 5 • 99 + 5 + 3 • 9 + 3 + 5 = 8 • 999 + 5 • 99 + 3 • 9 + ( 8 + 5 + 3 + 5+ ).

Числа 999, 99 и 9 делятся на 3, а значит по свойствам делимости, и суммы первых трёх слагаемых делится на 3. Поэтому ответ на вопрос о делимости на 3 числа 8 535 зависит от делимости на 3суммы остальных слагаемых, то есть 8 + 5 + 3 + 5 = 21. Число 21 на 32 делится, и поэтому 8 535 на 3 также делится.

Такое рассуждение можно провести для любого числа, и мы можем сформулировать следующий признак делимости на 3: "Число делится на 3 в том и только в том случае, когда его сумма цифр делится на 3".

Число a делится на 3 <-> Сумма цифр числа a делится на 3

Признак делимости на 9 формулируется " почти " так же, как признак делимость на 3: "Число делится на 9 в том и только в том случае, когда его сумма цифр делится на 9".

Число a делится на 9 <-> Сумма цифр числа a делится на 9

Расшифруй слово, из чисел, которые не кратны 9:

Из приведённых выше чисел отбери те, которые не кратны 3 и составь слово.

Ответы:

• 1. Футбол
• 2. Гиря
• 3. Хоккей
• 4. Каратэ
• 5. Матчь
• 6. Евролига, игра

Похожие статьи